Bất đẳng thức biến thiên là gì? Các bài nghiên cứu khoa học

Định nghĩa và khái niệm cơ bản

Bất đẳng thức biến thiên (Variational Inequality – VI) là bài toán tìm một điểm $u$ trong tập lồi đóng $K$ thuộc một không gian hàm Hilbert hoặc Banach sao cho thỏa mãn bất đẳng thức

$⟨A(u),\,v-u⟩ \ge 0,\quad \forall\,v\in K$

Trong đó, $A:K\to H^*$ là một ánh xạ (toán tử) thường có tính monotone hoặc strongly monotone, và ⟨·,·⟩ là tích hữu ích hoặc cặp song đôi giữa không gian và không gian đối. Bài toán này tổng quát hóa nhiều phương trình và bất đẳng thức cổ điển trong cơ học, tối ưu và kinh tế.

VI biểu diễn điều kiện cần thiết cho bài toán cực tiểu hoá với ràng buộc lồi: nếu $J:K\to\mathbb{R}$ là hàm hiệu năng đủ khả vi và $A=\nabla J$, thì nghiệm của bài toán VI chính là điểm tới hạn tối ưu của $J$ trên $K$. Tuy nhiên VI còn mở rộng tới các toán tử không có nguyên hàm tiềm năng, chẳng hạn khi $A$ chỉ monotone.

Bối cảnh lịch sử

Khái niệm VI xuất hiện đầu tiên trong nghiên cứu động lực học tiếp xúc và bài toán ma sát tại Đại học Rome vào cuối những năm 1960. Stampacchia (1964) đã định nghĩa và thiết lập kết quả tồn tại nghiệm cho VI elip với các điều kiện biên tổng quát.

Lions và Stampacchia (1967) tiếp tục mở rộng lý thuyết, liên kết VI với bài toán Dirichlet không đều, đồng thời chứng minh các định lý tồn tại và tính duy nhất dưới điều kiện toán tử monotone và hemicontinuous. Công trình này đã đặt nền tảng áp dụng VI cho cơ học chất rắn và phương trình đạo hàm riêng.

Trong những thập kỷ tiếp theo, lý thuyết VI phát triển mạnh mẽ, mở rộng sang các không gian Banach, các bài toán quasi-variational inequalities (QVI) và bài toán VI hỗn hợp (mixed VI), đáp ứng nhu cầu mô hình hoá trong kinh tế, tối ưu mạng lưới và truyền tải lực lượng.

Công thức toán học cơ bản

Bài toán VI chuẩn hóa trong một không gian Hilbert $H$ có dạng: tìm $u\in K\subset H$ sao cho

$⟨A(u),v-u⟩ \ge 0,\quad \forall\,v\in K.$

Đặc biệt, với $A=\nabla J$, VI tương đương với điều kiện tối ưu Karush–Kuhn–Tucker (KKT) của bài toán tối ưu hoá có ràng buộc lồi. Ngoài ra, trong ℝⁿ ta có thể viết dưới dạng Complementarity Problem (CP):

$u \ge 0,\quad A(u)+q \ge 0,\quad u^T(A(u)+q)=0.$

Bảng dưới đây tổng hợp các ký hiệu cơ bản và phạm vi ứng dụng của VI:

Ký hiệu	Ý nghĩa	Ví dụ
$H$	Không gian Hilbert	$L^2(\Omega)$, $ℝ^n$
$K$	Tập lồi đóng	$\{u\mid u\ge 0\}$, $\{u\mid a\le u\le b\}$
$A$	Toán tử monotone	$\nabla J$, $-Δ + c$
⟨·,·⟩	Tích hữu ích	$\int_\Omega u v\,dx$, $x^T y$

Điều kiện tồn tại và tính duy nhất

Để đảm bảo tồn tại nghiệm VI, các nhà toán học thường giả thiết $A$ là toán tử monotone (⟨A(u)-A(v),u-v⟩≥0) và hemicontinuous (liên tục theo đường thẳng). Dưới các điều kiện này, định lý Browder–Minty khẳng định tồn tại nghiệm của VI trên tập lồi đóng và không rỗng.

Tính duy nhất nghiệm được bảo đảm nếu $A$ là strongly monotone: tồn tại $\alpha>0$ sao cho ⟨A(u)-A(v),u-v⟩≥$\alpha\|u-v\|^2$. Khi đó, bất kỳ hai nghiệm đều trùng nhau, giúp bài toán VI có nghiệm duy nhất.

• Monotonicity: ⟨A(u)-A(v),u-v⟩≥0 với mọi $u,v\in K$.
• Hemicontinuity: $t\mapsto A(u+t(v-u))$ liên tục với $t\in[0,1]$.
• Strong monotonicity: ⟨A(u)-A(v),u-v⟩≥$\alpha\|u-v\|^2$, $\alpha>0$.

Định lý Lax–Milgram mở rộng cũng được áp dụng cho VI elip khi $A$ là ánh xạ tuyến tính coerive, giúp giải các bài toán biên tổng quát trong cơ học chất rắn và dòng chảy chất lỏng thấp Reynolds.

Lý thuyết chính quy

Độ mịn (regularity) của nghiệm VI phụ thuộc chặt chẽ vào tính chất biên của tập K và tính chất hệ số trong toán tử A. Trong trường hợp VI elip với A là ánh xạ tuyến tính coercive và hệ số đủ mịn (ví dụ hệ số trong phương trình Poisson có độ khả vi Hölder C¹,α), nghiệm u có thể thuộc không gian Sobolev cao hơn W²,p hoặc không gian không gian khả vi C¹,α trên đóng miền.

Phương pháp bootstrapping được áp dụng bằng cách lặp lại phân tích Sobolev: từ u ∈ W¹,², giải phương trình tuyến tính thu được u ∈ W²,², sau đó nhờ điều kiện hệ số mịn hơn, đẩy tiếp lên W²,p hoặc C¹,α. Kỹ thuật Schauder sử dụng lý thuyết tích hợp Green’s function để chứng minh nghiệm C²,α trong trường hợp miền và hệ số đều mịn.

• Điều kiện biên Dirichlet/Neumann: Ảnh hưởng đến bậc regularity của u.
• Biên đoan không lồi: Có thể giảm regularity, đòi hỏi kỹ thuật phân mảnh miền.
• Toán tử không tuyến: Cần giả thiết Lipschitz hoặc C¹ để có kết quả Schauder.

Phương pháp giải số

Phương pháp Projected Gradient (PGM) được sử dụng rộng rãi cho VI hữu hạn chiều: tại bước k, tính yₖ = uₖ – αₖA(uₖ) rồi chiếu yₖ về tập K để thu được uₖ₊₁ = Π_K(yₖ). Bước αₖ có thể chọn cố định hoặc theo quy tắc Armijo để đảm bảo hội tụ.

Thuật toán nội điểm (interior-point) biến bài toán VI thành chuỗi bài toán cực tiểu hoá lồi với hàm barrier: $\min_{u\in\mathrm{int}\,K}\;F(u)+\mu\sum_i-\ln(g_i(u)),$ với g_i(u)≥0 mô tả ràng buộc. Khi μ→0, nghiệm của bài toán nội điểm tiếp cận nghiệm VI.

Phương pháp	Đặc điểm	Độ phức tạp
PGM	Đơn giản, dễ triển khai	O(1/ε²) bước để đạt độ chính xác ε
Interior-point	Hội tụ nhanh, ổn định	O(√n log(1/ε)) mỗi bước nội điểm
Semismooth Newton	Hội tụ bậc hai	O(n³) cho mỗi lần giải hệ tuyến tính

Phương pháp Semismooth Newton sử dụng khai triển Clarke của A để định nghĩa đạo hàm tổng quát, đạt hội tụ bậc hai khi gần nghiệm, phù hợp với VI có complementarity hoặc điều kiện KKT.

Ứng dụng

Động lực học tiếp xúc và ma sát trong cơ học rắn được mô hình hoá bằng VI: điều kiện không xâm nhập và ma sát Coulomb dẫn đến bất đẳng thức biến thiên elip hoặc parabolic. Các công trình tiêu biểu như Kinderlehrer & Stampacchia (1980) đã phát triển phương pháp Galerkin cho bài toán này (Springer).

Trong kinh tế toán, cân bằng thị trường Walras và mô hình trò chơi Nash có thể được biểu diễn dưới dạng VI: tìm giá hoặc chiến lược u sao cho lợi ích biên không âm khi chuyển sang v ∈ K. VI giúp phân tích tồn tại và tính duy nhất cân bằng trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo.

• Mạng lưới điện: Điều tiết tải trọng, cân bằng công suất giữa cung và cầu.
• Giao thông: Mô hình Wardrop về lưu lượng cân bằng trên mạng đường bộ.
• Tối ưu hoá năng lượng: VI parabolic mô tả lan truyền nhiệt hoặc chất trong môi trường đẳng hướng.

Mở rộng và các biến thể

Quasi-Variational Inequalities (QVI) mở rộng VI bằng cách cho phép tập K phụ thuộc vào nghiệm u: $u\in K(u),\;⟨A(u),v-u⟩\ge0,\;\forall v\in K(u).$ QVI xuất hiện trong các mô hình cân bằng thị trường có ràng buộc thay đổi theo trạng thái.

Mixed VI kết hợp điều kiện bất đẳng thức và đẳng thức, dùng để mô hình hoá vấn đề đa mục tiêu hoặc bài toán liên kết giữa nhiều nhóm tác nhân. Các bài toán saddle-point cũng có thể viết dưới dạng mixed VI.

• VI trên manifold: nghiên cứu bài toán VI khi H là không gian Riemann, ứng dụng trong hình học tính toán.
• VI nhiễu loạn: thêm thành phần ngẫu nhiên vào A hoặc K, mô tả bất định trong hệ thống.

Vấn đề và xu hướng nghiên cứu

VI phi lồi và tập K không lồi là thách thức lớn: định lý Browder–Minty không còn áp dụng, cần phát triển lý thuyết monotonicity tổng quát và phương pháp giải mới như Splitting Algorithms và Proximal-Point cho không lồi.

Bilevel optimization trên VI (trò chơi hai cấp) đang thu hút sự chú ý: cấp trên tối ưu tham số điều khiển, cấp dưới là VI mô tả phản ứng thị trường hoặc cơ chế cân bằng. Phương pháp gradient-based và meta-heuristic được nghiên cứu để giải bài toán này.

Kết hợp học máy với VI: sử dụng dữ liệu thực nghiệm để ước lượng hoặc học toán tử A và tập K, từ đó giải VI data-driven. Mạng neural sâu và Gaussian Process là hướng tiếp cận mới, giúp mở rộng VI vào các hệ phức tạp như mạng giao thông thông minh.

Tài liệu tham khảo

1. Kinderlehrer, D., Stampacchia, G. (1980). An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications. Academic Press. Truy cập tại Springer.
2. Facchinei, F., Pang, J.-S. (2003). Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems. Springer. Truy cập tại Springer.
3. Harker, P.T., Pang, J.-S. (1990). Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementarity problems: a survey of theory, algorithms and applications. Mathematical Programming, 48, 161–220. Truy cập tại Springer.
4. Glowinski, R., Le Tallec, P. (1989). Augmented Lagrangian and Operator-Splitting Methods in Nonlinear Mechanics. SIAM. Truy cập tại SIAM.
5. Stampacchia, G. (1964). Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus. Annales de l’Institut Fourier, 15(1), 189–258.